1、電磁流量計(jì)測(cè)量理論

述電磁流量計(jì)的積分式由Bevir在1970年給出：

式中：U₂-U₁是兩電極之間的電勢(shì)差；A表示對(duì)所有的空間積分；稱為矢量權(quán)函數(shù)，是一個(gè)只有電磁流量計(jì)本身結(jié)構(gòu)決定的量，其表達(dá)式為：

而且：

式中：G和F分別是和的標(biāo)量勢(shì)，它們滿足Laplace方程：

由以上分析可知，電勢(shì)差的測(cè)量不受流體的溫度、壓力、密度、電導(dǎo)率(高于某閾值)變化的影響，具有很大的優(yōu)越性。

2、插入式電磁流量計(jì)的理論計(jì)算

典型的插入式流量計(jì)結(jié)構(gòu)如圖1所示，將電極插入管道內(nèi)，磁極留在管道外，在電極周圍產(chǎn)生一個(gè)局部磁場(chǎng)。

圖1　插入式流量計(jì)結(jié)構(gòu)示意圖

圖2　簡(jiǎn)化的物理模型

建立物理模型如圖2所示：e1、e2為插入管道的兩個(gè)電極，電極位置由插入深度b以及電極開(kāi)角θ₀決定，是由外部磁極產(chǎn)生的磁場(chǎng)?；诖四Ｐ?，計(jì)算G、F、W的分布。

2.1、虛電勢(shì)G的計(jì)算

由于管道內(nèi)有插入的電極，所以不能直接使用式(4)的Laplace方程求解虛電勢(shì)。我們可將該模型的虛電勢(shì)分布認(rèn)為是分別只有電極和邊界產(chǎn)生的虛電勢(shì)的疊加，即G=G₀+G_r。

2.1.1、只有電極的虛電勢(shì)分布

假設(shè)邊界無(wú)窮遠(yuǎn)，根據(jù)虛電流的定義有：

普通電場(chǎng)中的高斯定律：

根據(jù)對(duì)稱原則，虛電勢(shì)應(yīng)具有和電勢(shì)相似的形式，即：

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系，不難求出G0的解析表達(dá)式：

2.1.2、只有邊界的虛電勢(shì)分布

由于測(cè)量管壁絕緣，因此有邊界條件=0，即：

式(9)即為G_r的邊界條件。由于此時(shí)虛電勢(shì)僅由邊界決定，所以有方程：

這是一個(gè)定解條件的Laplace方程，使用分離變量及傅立葉系數(shù)公式可進(jìn)行求解。由于很難求得邊界條件的解析解，我們?cè)趶较蚴褂貌罘址椒ㄇ蟮肎_r的邊界條件來(lái)求得G_r的數(shù)值解。

3.2、磁勢(shì)F的計(jì)算

由于電極的插入深度一般僅為管道直徑的10%～12.5%，因此假設(shè)在電極附近的磁感強(qiáng)度是均勻的，即：

3.3、權(quán)函數(shù)W的計(jì)算

由梯度的定義可求得：

由于磁場(chǎng)是均勻的，不難得到：

3.4、輸出電勢(shì)差的計(jì)算

假設(shè)管道中的流動(dòng)為充分發(fā)展的湍流，我們選用經(jīng)典湍流模型，其流場(chǎng)分布為：

與求得的W得輸出電勢(shì)差U。

3、編程計(jì)算

綜合上述討論可以看出，問(wèn)題的關(guān)鍵在于虛電勢(shì)函數(shù)G的計(jì)算，考慮到精度要求以及資源消耗，使用離散方法計(jì)算G。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1)、將感興趣的區(qū)域在二維直角坐標(biāo)上劃分網(wǎng)格，使用式(8)求出每一微元上的G₀值；

2)、使用差分方法計(jì)算式(9)中邊界處網(wǎng)格的G₀法向方向偏導(dǎo)值，作為計(jì)算Gr的邊界條件；

3)、通過(guò)分離變量、利用傅立葉系數(shù)公式，以及離散的Simphson積分法計(jì)算式(10)得到Gr的半解析表達(dá)式，計(jì)算每一網(wǎng)格的Gr值，并合成G；

4)、按照式(13)計(jì)算G在x方向的差分，求得每一網(wǎng)格的W值；

5)、結(jié)合式(14)的流場(chǎng)模型，計(jì)算輸出電壓。

編寫(xiě)程序計(jì)算不同流場(chǎng)，不同電極位置的輸出電壓，并繪制G、W的等勢(shì)分布圖。

4、結(jié)果與分析

4.1、虛電勢(shì)G分布(取電極間距為0.1R)

取b=0.9R(R為管道半徑)，θ=0.0555rad，繪制G分布并放大電極附近區(qū)域如圖3所示。

圖3　b=0.9R時(shí)的G分布及局部放大圖

圖3中的黑點(diǎn)為電極，可以明顯的看出G主要分布在電極周圍并且在邊界處分布發(fā)生顯著的變化。

4.2、權(quán)函數(shù)W分布(取電極間距為0.1R)

取b=0.9R，θ=0.0555rad，繪制W分布如圖4所示。

圖4　b=0.9R時(shí)的W分布及局部放大圖

從圖4中可以看出W主要分布在電極附近，并且成對(duì)稱分布。

4.3、輸出電勢(shì)差

通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，權(quán)函數(shù)W主要分布在電極附近。選擇b=0.752R，對(duì)進(jìn)行全空間積分，求得輸出電勢(shì)差U=0.1475V(為規(guī)一起見(jiàn)，假定vmax=1m/s，R=1m，電極處B=1T)；對(duì)距離電極所在圓周0105R的環(huán)狀區(qū)域進(jìn)行積分，求得輸出電勢(shì)差U=0.1231。因此，對(duì)最終輸出電勢(shì)差起作用的主要是電極附近的流場(chǎng)。說(shuō)明我們假設(shè)的磁場(chǎng)模型是可用的。

選擇模擬計(jì)算中常用的湍流模型

進(jìn)行計(jì)算，取v_max=1，在不同的插入深度對(duì)于不同的湍流系數(shù)n進(jìn)行求解，得到結(jié)果如表1所示。

表1 不同電極位置和不同湍流系數(shù)下的輸出電勢(shì)差

繪制湍流系數(shù)-輸出電勢(shì)差曲線如圖5所示。

圖5　湍流系數(shù)-輸出電勢(shì)差擬合曲線

對(duì)各組數(shù)據(jù)做最小二乘擬合，計(jì)算斜率及線性度如表2所示。

表2 不同電極位置的電勢(shì)差擬合直線斜率及線性度

由圖5可以看出，取v_max=1，即同一流量下，不同的湍流系數(shù)n對(duì)應(yīng)了不同的輸出電壓。但當(dāng)b=0.752R，也就是常說(shuō)的平均流速點(diǎn)位置，輸出的電勢(shì)差U值基本不變。因此，只要將電極插至該位置，即可用來(lái)測(cè)量流量。為了研究插入深度偏離平均流速點(diǎn)所產(chǎn)生的測(cè)量誤差，假設(shè)平均流速點(diǎn)位置的輸出電勢(shì)差為標(biāo)準(zhǔn)值，計(jì)算得到：插入深度與平均流速點(diǎn)偏差在011R范圍內(nèi)，輸出電勢(shì)與該標(biāo)準(zhǔn)值的相對(duì)誤差約為1%～2%。

5、結(jié)論

本文完成了以下工作：

1)、建立了插入式電磁流量計(jì)的物理模型，并編寫(xiě)程序計(jì)算出虛電勢(shì)、權(quán)函數(shù)的數(shù)值解，用于指導(dǎo)插入式電磁流量計(jì)的實(shí)際生產(chǎn)與運(yùn)用；

2)、引入經(jīng)典湍流模型，對(duì)不同湍流系數(shù)，不同電極位置的輸出電壓進(jìn)行模擬計(jì)算，給出關(guān)系曲線，從理論上給出電極最優(yōu)工作位置。

希望在進(jìn)一步的工作中能加工制作出插入式流量計(jì)的實(shí)物，通過(guò)流量標(biāo)定實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證理論分析結(jié)果。