基于互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代“大數(shù)據(jù)”“云計(jì)算”背景，以創(chuàng)新為靈魂的“創(chuàng)客教育”必須扎根學(xué)校課堂。作為數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的課程載體，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛴行д险n程資源，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的知識(shí)融合、技能整合。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童擺脫“離身思維”，“手腦”結(jié)合，可形成一種“具身認(rèn)知”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將成為開啟數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的新動(dòng)力引擎。
一、創(chuàng)客教育：訴求數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的課程價(jià)值
現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)不是無可懷疑的“真理集合”，而是動(dòng)態(tài)、可誤的，是一個(gè)不斷地猜想、嘗試、計(jì)算、推理、證實(shí)或證偽的動(dòng)態(tài)生長過程。正是在這個(gè)意義上，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”。在數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”過程中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有著獨(dú)特的課程價(jià)值。
(一)思想與實(shí)踐對(duì)接
所謂“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，是指兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的操作性、印象性或符號(hào)性的“實(shí)驗(yàn)”或“準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)”(虛擬實(shí)驗(yàn))，它超越了純粹的“紙筆數(shù)學(xué)”，讓兒童的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)實(shí)踐無縫對(duì)接、有效整合。教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》，筆者首先給學(xué)生提供一根小棒(15厘米)，讓他們測(cè)量;再讓學(xué)生自主創(chuàng)造“結(jié)構(gòu)性素材”——將小棒分成三段嘗試圍三角形，在“圍”的實(shí)驗(yàn)過程中展開自我追問：“為什么有的能‘圍成’，而有的卻‘圍不成’?”思維的觸角延伸至“三角形三邊的數(shù)據(jù)關(guān)系”;最后，讓學(xué)生將“圍成”和“圍不成”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用表格分類整理，產(chǎn)生對(duì)“三角形三邊關(guān)系”的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí)。在此，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引領(lǐng)兒童的數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思維修正兒童的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。
(二)歸納與演繹圓融
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開辟了兒童“用手思考問題”的道路，兒童正是在“動(dòng)手做”的過程中解壓了數(shù)學(xué)思維。同時(shí)，數(shù)學(xué)思維反過來對(duì)數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)”進(jìn)行“必要的凝聚”——抽象和概括。這是一個(gè)伴隨兒童認(rèn)知沖突、矛盾解決的不斷猜想、探究、嘗試與論證的過程。教學(xué)《兩位數(shù)除以一位數(shù)》，筆者首先出示63÷3，學(xué)生用手中的小棒實(shí)驗(yàn)，有的先分個(gè)位上的3根，有的先分十位上的6捆;然后出示76÷2，學(xué)生依然是兩種分法，但已經(jīng)開始通過自我“內(nèi)部言語”歸納出“先分十位”更合理、更方便些;接著出示42÷3，這時(shí)個(gè)位上的2不夠分，學(xué)生只能從高位開始。在學(xué)生通過“實(shí)驗(yàn)”理解了“算理”后，筆者讓他們進(jìn)行“豎式計(jì)算”，由此演繹生成出“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的算法。從“工具操作”到“表象歸納”再到“符號(hào)演繹”，兒童的“實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)”升華為數(shù)學(xué)的“理性認(rèn)知”。
(三)思維與創(chuàng)造共生
“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是孕育兒童數(shù)學(xué)創(chuàng)造的孵化器，兒童的一個(gè)個(gè)“小微創(chuàng)”在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”中誕生。在“微創(chuàng)”過程中，兒童主動(dòng)觀察、思維、想象、推理等，主動(dòng)畫圖、剪拼、測(cè)量等。教學(xué)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)——“神奇的莫比烏斯圈”，筆者首先讓學(xué)生觀察、觸摸莫比烏斯圈，他們迅速感知到：莫比烏斯圈只有一個(gè)面、一條邊。然后，讓學(xué)生用剪刀沿莫比烏斯圈中線剪開，他們驚奇地發(fā)現(xiàn)：剪后的莫比烏斯圈變成一個(gè)大紙環(huán)。接著，筆者讓學(xué)生展開實(shí)驗(yàn)，于是有的剪了莫比烏斯圈的三分之一;有的先剪二分之一，再剪二分之一。在看、剪的過程中，學(xué)生萌發(fā)出創(chuàng)造性想象：老師，如果把磁帶做成莫比烏斯圈，就不用翻面了;老師，如果把“輸送帶”做成莫比烏斯圈，或許能延長使用壽命呢……學(xué)生創(chuàng)意迭出。最后，筆者向?qū)W生展示迷人的“莫比烏斯建筑”“莫比烏斯涼鞋”等，延展學(xué)生的想象。
二、創(chuàng)客教育：觀照數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的問題現(xiàn)象
在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童的抽象思維與形象思維并存，感性觀察與理性分析交織。唯其如此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能激活兒童的“群智群力”，成為兒童的研究與探索。然而，當(dāng)我們運(yùn)用“創(chuàng)客教育”理念觀照當(dāng)下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)存在諸多問題，如“數(shù)學(xué)講解”對(duì)“實(shí)驗(yàn)操作”的代替、“數(shù)學(xué)結(jié)果”對(duì)“實(shí)驗(yàn)過程”的僭越、“實(shí)驗(yàn)操作”對(duì)“數(shù)學(xué)思想”的輕視等。
(一)“數(shù)學(xué)講解”對(duì)“實(shí)驗(yàn)操作”的代替
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是實(shí)施數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的價(jià)值載體。實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常常蜻蜓點(diǎn)水、一帶而過，甚至將豐富生動(dòng)的“做實(shí)驗(yàn)”減縮為“說實(shí)驗(yàn)”“講實(shí)驗(yàn)”“演實(shí)驗(yàn)”。教學(xué)《可能性》，有教師為節(jié)約課堂教學(xué)時(shí)間，將他們自認(rèn)為枯燥、繁瑣的“摸球?qū)嶒?yàn)”簡化或懸置，代之以“數(shù)學(xué)講解”，讓學(xué)生猜測(cè)“摸球結(jié)果”，直接出示數(shù)學(xué)家研究“等可能性”的“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。如此，學(xué)生體驗(yàn)不到事件的“隨機(jī)性”，更談不上掌握“統(tǒng)計(jì)方法”，感悟“概率思想”。
(二)“數(shù)學(xué)結(jié)果”對(duì)“實(shí)驗(yàn)過程”的僭越
在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，有教師為追求實(shí)驗(yàn)結(jié)果“一步到位”，甚至為求“實(shí)驗(yàn)順暢”，而對(duì)實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行“前置告知”“過渡預(yù)設(shè)”，使得學(xué)生在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”過程中的操作簡單、思維膚淺。教學(xué)《圓的周長》，一位教師首先出示圓周率近似數(shù)——3.14，接著讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。于是，有學(xué)生用“繞線法”測(cè)量出圓周長，有學(xué)生用“滾圓法”測(cè)量出圓周長。通過計(jì)算圓周長和直徑的商，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是3.14，于是他們?yōu)橛辖處煟娂姶鄹?、杜撰?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，甚至懸置數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，代之以數(shù)學(xué)計(jì)算。充滿兒童興趣的“探究實(shí)驗(yàn)”被教師誤導(dǎo)為“驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)”，而教師對(duì)兒童驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)過程又缺乏具體、明確的指導(dǎo)，導(dǎo)致兒童偽造“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”數(shù)據(jù)。
(三)“實(shí)驗(yàn)操作”對(duì)“數(shù)學(xué)思想”的輕視
在數(shù)學(xué)“創(chuàng)客活動(dòng)”中，“實(shí)驗(yàn)”是“數(shù)學(xué)”的載體，“思想”是“數(shù)學(xué)”的靈魂。要警惕兒童淪落為機(jī)械的“操作工”，必須引領(lǐng)兒童進(jìn)行深度的“數(shù)學(xué)之思”，讓兒童感悟、體驗(yàn)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。例如，“間隔排列”問題是數(shù)學(xué)經(jīng)典問題，有教師教學(xué)時(shí)只是蜻蜓點(diǎn)水地讓學(xué)生“擺學(xué)具——觀察特征”“數(shù)學(xué)猜想——實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”。整個(gè)實(shí)驗(yàn)缺失“對(duì)應(yīng)學(xué)具”的分組操作，沒有讓學(xué)生慢慢感悟“對(duì)應(yīng)思想”，導(dǎo)致學(xué)生一頭霧水，始終不能深刻理解“為什么‘兩端物體’相同，‘兩端物體’比‘中間物體’多1”。在應(yīng)用時(shí)，學(xué)生不知所措——加1、減1還是相等呢?
三、創(chuàng)客教育：探尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的眾創(chuàng)路徑
作為一種體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是兒童在“做中學(xué)”“做中玩”“做中研”“做中創(chuàng)”。在實(shí)驗(yàn)過程中，教師要努力成長為“創(chuàng)客導(dǎo)師”，營建“創(chuàng)想氛圍”，打造“創(chuàng)想空間”，激發(fā)兒童“創(chuàng)想意識(shí)”，對(duì)兒童的實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新進(jìn)行“眾扶”“眾籌”，讓兒童“想創(chuàng)”“敢創(chuàng)”“能創(chuàng)”。
(一)從“約”到“放”，通過“對(duì)比實(shí)驗(yàn)”引發(fā)兒童“的主動(dòng)之意”
在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，要引發(fā)兒童主動(dòng)學(xué)習(xí)的愿望，讓兒童自主建構(gòu)。教學(xué)《圓錐的體積》，許多教師實(shí)驗(yàn)時(shí)直接出示“結(jié)構(gòu)性素材”——“等底等高的圓柱圓錐”，這是一種學(xué)生在教師脅迫下的“被實(shí)驗(yàn)”——為什么非得選擇圓柱且是“等底等高”的圓柱?筆者在教學(xué)時(shí)則由“約”而“放”，首先出示大小、形狀不同的立體模型(如長方體、正方體、圓柱、三棱柱等)讓學(xué)生自主選擇。學(xué)生紛紛選擇圓柱——
師：你們?yōu)槭裁催x擇圓柱?
生：因?yàn)閳A柱和圓錐的底面都是圓形，便于比較。
師：這里有4種規(guī)格(6組)的圓柱、圓錐，(“等底不等高”1組、“等高不等底”1組、“等底等高”2組、“不等底不等高”2組)你們選擇哪種規(guī)格?
生：我選擇“等底等高”的圓柱、圓錐，這樣更便于比較。
接著，筆者讓學(xué)生用4種規(guī)格的圓柱、圓錐(裝沙子、水)分組進(jìn)行“對(duì)比實(shí)驗(yàn)”。學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，有3組實(shí)驗(yàn)結(jié)果是“圓柱的體積大約是圓錐體積的三倍”，其中2組是“等底等高”，1組是“不等底不等高”。接著，筆者組織學(xué)生討論，在討論中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，由于沙子之間有空隙，所以用水做實(shí)驗(yàn)更科學(xué)，并且深刻地感悟到：等底等高的圓柱圓錐，圓柱的體積一定是圓錐的3倍;而圓柱的體積是圓錐的3倍，它們可能“等底等高”，也可能“不等底不等高”。他們還用“高瘦瘦和矮胖胖”生動(dòng)地解釋“不等底不等高”的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這里，兒童充分發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的自主能動(dòng)性，真正經(jīng)歷了“圓錐體積公式”的誕生歷程，成為一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的“創(chuàng)客”。
(二)從“迷”到“思”，通過“模型實(shí)驗(yàn)”彰顯兒童的“理解之美”
兒童在生活、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)產(chǎn)生許多“迷思概念”(即一種錯(cuò)誤概念或思維結(jié)構(gòu))，教學(xué)中教師可以運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)化兒童思維，讓兒童的思維獲得澄明、敞亮。
六年級(jí)試卷有這樣一道選擇題：
一個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母同時(shí)加上k(k>0)，所得分?jǐn)?shù)( )(>、<、=)原分?jǐn)?shù)。
許多學(xué)生看到“同時(shí)加上k”，所以選擇了“現(xiàn)分?jǐn)?shù)=原分?jǐn)?shù)”。對(duì)于學(xué)生的“迷思”，筆者沒有按照一般教師運(yùn)用的“假設(shè)法”(即舉幾個(gè)例子讓學(xué)生嘗試運(yùn)算)，而是做了一個(gè)可視性的“模型實(shí)驗(yàn)”——
師：老師這兒有一杯糖水，它的糖占糖水的ba，如果老師再加入k克糖，糖、糖水、含糖率分別發(fā)生了怎樣的變化?
生：糖多了，糖水也多了。
生：變甜了。
師：變甜了就是什么變化了?
生：含糖率升高了。
師：現(xiàn)在你知道一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上同一個(gè)大于0數(shù)，分?jǐn)?shù)變大的道理了嗎?
學(xué)生恍然大悟，原來一個(gè)抽象的“不等式問題”竟然可以用一個(gè)“糖水濃度”實(shí)驗(yàn)來解釋，既直觀、形象又嚴(yán)密、深刻。這里，兒童感受到數(shù)學(xué)的美妙與神奇。
(三)從“低”到“高”，通過“模擬實(shí)驗(yàn)”呈現(xiàn)兒童的“解放之趣”
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程應(yīng)該成為兒童感受“數(shù)學(xué)力量”的過程，應(yīng)該充分彰顯兒童的“解放旨趣”。從“本質(zhì)直觀”到“理性判斷”，兒童能夠感受自我的“本質(zhì)力量”。教學(xué)《長方形的面積》，筆者讓學(xué)生做“貼瓷磚”的“模擬實(shí)驗(yàn)”。首先給出一個(gè)小長方形紙(長、寬均為整厘米數(shù))，讓學(xué)生用“1平方厘米”的小正方形塑料片進(jìn)行拼擺，通過“數(shù)”，學(xué)生可直觀感知到長方形紙的面積;然后，出示一個(gè)大長方形紙，先讓學(xué)生估計(jì)長方形紙的面積，再讓學(xué)生用直尺分別量出長方形紙的長、寬;接著，讓學(xué)生再次用“1平方厘米”的小正方形塑料片拼擺。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，塑料片不夠拼擺了——
師：不夠拼擺怎么辦呢?
生：可以用筆畫出空出的部分，然后數(shù)一數(shù)。
生：可以先用小正方形塑料片擺一行，然后畫一條橫線，再沿著這條橫線向上對(duì)折。
生：可以在頭腦中想象。
師：非得畫滿、折滿么?有沒有更為簡單的方法?
(學(xué)生沉默片刻。)
生：(興奮地)只要用小正方形擺在長方形紙的長邊和寬邊上，然后再用“長邊上的個(gè)數(shù)”乘“寬邊上的個(gè)數(shù)”。
生：長方形紙的長邊長度就是長邊上的小正方形的個(gè)數(shù)，寬邊長度就是寬邊上的小正方形的個(gè)數(shù)，所以我們只要知道長方形紙的長和寬，就能算出長方形紙的面積。
至此，“長方形的面積公式”自然誕生了。教師故意設(shè)置“短斤缺兩”的工具，讓學(xué)生超越實(shí)驗(yàn)的“工具理性”，經(jīng)由自我的“實(shí)踐理性”，邁向數(shù)學(xué)的“解放理性”。
(四)從“外”到“內(nèi)”，通過“切片實(shí)驗(yàn)”實(shí)現(xiàn)兒童的“成長之需”
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的課程載體，能夠讓兒童外顯的實(shí)踐操作與內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維有機(jī)融合，讓活動(dòng)成為“外化的思維”，讓思維成為“內(nèi)化的活動(dòng)”。正是在這個(gè)意義上，“用手思考”也可以理解為“用頭腦做”“用頭腦看”“用頭腦聽”……例如，對(duì)于這樣的習(xí)題：
小英像下圖這樣擺正方形，擺1個(gè)用4個(gè)小棒，擺2個(gè)用7根小棒，擺3個(gè)需要()根小棒，擺10個(gè)呢?擺15個(gè)呢?100根小棒能擺多少個(gè)正方形?
教學(xué)時(shí)，筆者讓學(xué)生做“切片實(shí)驗(yàn)”——即用火柴棒擺前幾個(gè)圖形探究，“以小見大找規(guī)律”。操作中，筆者適度介入，給操作“注入思維”——“擺1個(gè)正方形需要幾根火柴棒?”“擺2個(gè)正方形需要增加幾根火柴棒?”“上下看，增加幾根?”“左右看，增加幾根?”……學(xué)生將操作結(jié)果用表格(見表1)進(jìn)行整理，形成“實(shí)驗(yàn)切片”。
表1
擺1個(gè)擺2個(gè)擺3個(gè)……擺10個(gè)擺15個(gè)4根7根10根……()根()根當(dāng)學(xué)生操作完到第3個(gè)正方形時(shí)，筆者引導(dǎo)他們觀察，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用“算式”進(jìn)行記錄，于是產(chǎn)生了多樣化的數(shù)學(xué)表達(dá)：
生：4，4+3，4+3×2，…。
生：1+3，1+2×3，1+3×3，…。
生：2+2，4+3，6+4，…。
生：1×2+2×1，1×3+2×2，1×4+2×3，…。
……
師：還需要接著擺下去嗎?
生：不用了，我們找到了規(guī)律。
兒童大腦在擺小棒過程中始終關(guān)注著他們各自視界里的規(guī)律。這些規(guī)律是兒童將自我外在的“操作實(shí)驗(yàn)”內(nèi)化成兒童自我的“思想實(shí)驗(yàn)”，他們“在頭腦里操作”，在頭腦中“下盲棋”。經(jīng)過自我推理、計(jì)算，學(xué)生建構(gòu)出各自的數(shù)學(xué)規(guī)律，他們的創(chuàng)新素養(yǎng)得到了提升。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種打通教材文本和兒童知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)心理等的主客交融的“綜合性學(xué)習(xí)”。在這種“綜合性學(xué)習(xí)”中，兒童主動(dòng)觀察、思考、操作、發(fā)現(xiàn)。“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”為“數(shù)學(xué)理解”提供了“外源幫助”，“數(shù)學(xué)理解”為“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”提供了“內(nèi)源支撐”。在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”過程中，兒童從依賴操作實(shí)驗(yàn)的“工具性理解”走向超越操作的“關(guān)系性理解”“創(chuàng)新性理解”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自我的“思維躍遷”。“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”也成為兒童的“創(chuàng)想空間站”“數(shù)學(xué)創(chuàng)客坊”。
